Angoli opposti congruenti e parallelogramma

Dimostriamo una delle condizioni sufficienti per il parallelogramma: se gli angoli opposti sono congruenti, il quadrilatero è un parallelogramma. La dimostrazione lavora sulla somma degli angoli interni scomposti lungo una diagonale.

Teorema — Angoli opposti congruenti

Se un quadrilatero ha gli angoli opposti congruenti, allora è un parallelogramma.

Dimostrazione

La dimostrazione procede scomponendo gli angoli lungo la diagonale e sfruttando le relazioni tra le somme.

1. Ipotesi. $\widehat{A}\cong\widehat{C}$ e $\widehat{B}\cong\widehat{D}$.
2. Costruzione. Tracciamo la diagonale $AC$, che divide $\widehat{A}$ in $\alpha,\gamma$ e $\widehat{C}$ in $\beta,\delta$.
3. Considero. Dalla somma degli angoli interni: $(\alpha+\gamma)+\widehat{B}+(\beta+\delta)+\widehat{D}=2\pi$. Poiché $\widehat{B}\cong\widehat{D}$: $\alpha+\gamma+\beta+\delta+2\widehat{B}=2\pi$. Nel triangolo $ABC$: $\alpha+\widehat{B}+\beta=\pi$, dunque $\gamma+\delta+\widehat{B}=\pi$. Nel triangolo $ACD$: $\gamma+\widehat{D}+\delta=\pi$, confermato.
4. Idea chiave. Da $\widehat{A}\cong\widehat{C}$: $\alpha+\gamma=\beta+\delta$. Confrontando con $\alpha+\beta=\gamma+\delta$ (differenza delle equazioni dei triangoli): si ottiene $\alpha=\delta$ e $\beta=\gamma$.
5. Deduco. $\beta\cong\gamma \implies AB\parallel CD$ (alterni interni con trasversale $AC$). $\alpha\cong\delta \implies BC\parallel AD$.
6. Verificato. Dunque $ABCD$ è un parallelogramma.

$\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli alterni interni · Dimostrazione · Parallelogramma · Somma angoli poligono
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica