Somma degli angoli interni di un poligono

Sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è $\pi$. E per un quadrilatero? E per un pentagono? C’è una formula generale che vale per ogni poligono convesso.

Teorema — Somma degli angoli interni di un poligono

In un poligono convesso di $n$ lati la somma degli angoli interni è: $(n-2)\cdot\pi \qquad\text{cioè}\qquad (n-2)\cdot 180^\circ.$

Dimostrazione

L’idea è suddividere il poligono in triangoli e poi sottrarre gli angoli “di troppo”.

1. Costruzione. Scelgo un punto $O$ interno al poligono e lo congiungo con tutti i vertici, ottenendo $n$ triangoli.
2. Osservo. La somma di tutti gli angoli dei triangoli così formati è $n\cdot\pi$.
3. Osservo. Tuttavia, gli angoli che si affacciano nel punto $O$ formano un angolo giro: $2\pi$. Questi angoli non fanno parte degli angoli interni del poligono.
4. Deduco. Sottraendo, la somma degli angoli interni del poligono è $n\pi - 2\pi = (n-2)\pi$.

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Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Dimostrazione · Poligono · Somma angoli poligono · Somma angoli triangolo
Competenze: Dimostrare · Usare formule