Bisettrice, mediana e altezza

La simmetria del triangolo isoscele fa sì che tre rette notevoli, che in un triangolo qualunque sono distinte, qui si sovrappongano in una sola.

Teorema — Bisettrice, mediana e altezza nel triangolo isoscele

In un triangolo isoscele $ABC$ con $AC\cong BC$, la bisettrice dell’angolo al vertice $\widehat{C}$ è anche mediana (passa per il punto medio di $AB$) e altezza (è perpendicolare ad $AB$).

Nel triangolo isoscele la bisettrice da $C$ è contemporaneamente mediana e altezza relative alla base $AB$.

Dimostrazione

Mostriamo che la bisettrice da $C$ cade nel punto medio di $AB$ ed è perpendicolare ad esso.

1. Costruzione. Sia $K$ il piede della bisettrice di $\widehat{C}$ su $AB$.
2. Considero. Nei triangoli $AKC$ e $BKC$ troviamo: $CK$ in comune, $\widehat{ACK}\cong\widehat{BCK}$ (bisettrice), $AC\cong BC$ (ipotesi).
3. Deduco. Per il I criterio: $\triangle AKC\cong\triangle BKC$.
4. Verificato. Dalla congruenza segue $AK\cong BK$: $K$ è il punto medio di $AB$, quindi $CK$ è mediana.
5. Deduco. Inoltre $\widehat{AKC}\cong\widehat{BKC}$. Poiché sono supplementari e congruenti, ciascuno vale $\dfrac{\pi}{2}$: $CK$ è altezza.

In sintesi, nel triangolo isoscele bisettrice, mediana e altezza dal vertice coincidono. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Altezza · Bisettrice · Criteri congruenza · Dimostrazione · Mediana · Retta · Triangolo isoscele
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica