Angoli alla base del triangolo isoscele

Un triangolo con due lati congruenti si dice isoscele. La sua proprietà più celebre — attribuita già a Talete — riguarda gli angoli opposti a quei due lati.

Teorema — Angoli alla base del triangolo isoscele

Se un triangolo ha due lati congruenti ($AC\cong BC$), allora gli angoli opposti a quei lati sono congruenti: $AC\cong BC \implies \widehat{CAB}\cong\widehat{CBA}$

Dimostrazione

La strategia consiste nel creare due coppie di triangoli congruenti, sfruttando prolungamenti simmetrici dei lati.

1. Costruzione. Si prolunga $CA$ oltre $A$ di un segmento $AD$; si prolunga $CB$ oltre $B$ di un segmento $BE\cong AD$. Si congiungono $D$ con $B$ ed $E$ con $A$.
2. Considero. I triangoli $CBD$ e $CAE$: $BC\cong AC$ (ipotesi), $DC = AC+AD \cong BC+BE = CE$ (somme di congruenti), $\widehat{C}$ in comune.
3. Deduco. Per il I criterio: $\triangle CBD\cong\triangle CAE$, dunque $BD\cong AE$ e $\widehat{CDB}\cong\widehat{CEA}$.
4. Considero. Passiamo ora ai triangoli $ABD$ e $BAE$: $AB$ in comune, $AD\cong BE$ (costruzione), $BD\cong AE$ (appena dimostrato).
5. Deduco. Per il III criterio: $\triangle ABD\cong\triangle BAE$, dunque $\widehat{BAD}\cong\widehat{ABE}$.
6. Verificato. Infine, $\widehat{CAB}$ e $\widehat{BAD}$ sono supplementari, così come $\widehat{CBA}$ e $\widehat{ABE}$. Essendo supplementari di angoli congruenti, si conclude $\widehat{CAB}\cong\widehat{CBA}$.

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Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angolo · Criteri congruenza · Dimostrazione · Triangolo isoscele
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica