Distinguere equivalenze e ordini

Testo

Tra le seguenti relazioni su $\mathbb{N}$, distingui le equivalenze dagli ordini: (a) $a-b$ è pari; (b) $a\le b$; (c) $a$ e $b$ hanno la stessa cifra finale; (d) $a$ divide $b$.

Soluzione

• (a) $a-b$ pari → equivalenza. È riflessiva ($a-a=0$ pari), simmetrica (se $a-b$ è pari lo è $b-a$) e transitiva. Raggruppa i numeri per parità.
• (b) $a\le b$ → ordine (totale). Riflessiva, antisimmetrica, transitiva, e ogni coppia è confrontabile.
• (c) stessa cifra finale → equivalenza. Riflessiva, simmetrica, transitiva; le classi sono dieci (cifra finale $0,1,\ldots,9$).
• (d) $a$ divide $b$ → ordine (parziale). Riflessiva, antisimmetrica e transitiva, ma non totale: $2$ e $3$ non sono confrontabili.

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Relazione d ordine · Relazione di equivalenza
Competenze: Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Dimostrazione