Discussione di un sistema al variare di k

Testo

Per quali valori di $k$ il sistema $\begin{cases} kx+y=1 \\ x+ky=1\end{cases}$ è (a) determinato; (b) impossibile; (c) indeterminato? (Studia $\det A = k^2-1$.)

Soluzione

Il determinante della matrice dei coefficienti è $\det A = \begin{vmatrix} k & 1 \\ 1 & k\end{vmatrix} = k^2 - 1 = (k-1)(k+1).$ (a) Determinato — quando $\det A \ne 0$, cioè per $\boxed{k \ne \pm 1}$: il sistema ha un’unica soluzione (per simmetria $x=y=\tfrac{1}{k+1}$). (b) Impossibile — per $k=-1$ il sistema diventa $\begin{cases} -x+y=1 \\ x-y=1\end{cases}$; sommando le due equazioni si ottiene $0=2$, assurdo: nessuna soluzione. (c) Indeterminato — per $k=1$ le due equazioni coincidono ($x+y=1$): infinite soluzioni dipendenti da un parametro.

Collegamenti

Argomenti: Sistemi lineari
Concetti: Determinante · Sistema impossibile · Sistema indeterminato
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Risoluzione sistema