Quanti numeri primi ci sono

Storia — Quanti primi ci sono?

Euclide dimostrò (Elementi, Libro IX, Prop. 20) che i primi sono infiniti: se $p_1,\ldots,p_k$ fossero tutti i primi, il numero $N=p_1\cdots p_k+1$ non sarebbe divisibile per nessuno di loro, quindi avrebbe un fattore primo nuovo — una contraddizione.

Il teorema dei numeri primi, congetturato da Gauss e dimostrato in modo indipendente da Hadamard e da de la Vallée Poussin nel 1896, raffina il quadro: $\pi(N)\sim N/\ln N$, dove $\pi(N)$ è il numero di primi $\le N$. Per $N=10^6$ ci sono $78\,498$ primi contro la stima $10^6/\ln 10^6\approx 72\,382$: un errore relativo di circa l’$8\%$, che decresce (lentamente) a zero per $N\to\infty$.

Collegamenti

Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Numero primo
Persone: De La Vallee Poussin · Euclide · Carl Friedrich Gauss · Hadamard