Urna di 12 palle, media e varianza

Testo

Da un’urna con $N=12$ palle ($K=6$ bianche, $6$ nere) si estraggono $n=6$ palle senza reimmissione. Calcolare media e varianza di $X$ = numero di bianche e confrontarle con il caso “con reimmissione” ($B(6;\,1/2)$). Commentare il fattore di correzione.

Soluzione

Ipergeometrica $\text{Hyp}(12,6,6)$: $\mu = n\cdot\frac{K}{N} = 6\cdot\frac{6}{12} = \boxed{3},$ $\sigma^2 = n\cdot\frac{K}{N}\cdot\frac{N-K}{N}\cdot\frac{N-n}{N-1} = 6\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac{6}{11} = 1{,}5\cdot\frac{6}{11}\approx \boxed{0{,}818}.$ Binomiale $B(6;\,1/2)$ (con reimmissione): $\mu = np = 3$ (stessa media), $\sigma^2 = np(1-p) = 6\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12 = 1{,}5$.

Le due medie coincidono; la varianza ipergeometrica è più piccola per il fattore di correzione per popolazione finita $\dfrac{N-n}{N-1} = \dfrac{6}{11}\approx 0{,}545$. Senza reimmissione i risultati sono meno dispersi: estrarre metà dell’urna vincola fortemente l’esito (se escono molte bianche, ne restano poche), riducendo la variabilità.

Collegamenti

Argomenti: Distribuzioni probabilita
Concetti: Distribuzione ipergeometrica · Valore atteso · Varianza
Metodi: Distribuzione ipergeometrica
Competenze: Analisi casi limite · Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita