Ipergeometrica vs binomiale

Ipergeometrica e binomiale descrivono lo stesso tipo di problema — contare i successi — ma differiscono su un punto: c’è o non c’è reimmissione. Il confronto chiarisce quando l’una approssima l’altra.

Proprietà — Confronto ipergeometrica vs. binomiale

• Binomiale $B(n,p)$: estrazioni con reimmissione. Le prove sono indipendenti, $p = K/N$ è fissa.
• Ipergeometrica $\text{Hyp}(N,K,n)$: estrazioni senza reimmissione. La probabilità di successo cambia ad ogni estrazione (dipende da quante palle restano).

La varianza ipergeometrica differisce dalla binomiale per il fattore $\dfrac{N-n}{N-1}$, detto fattore di correzione per popolazione finita: vale $1$ quando $N\to\infty$ (popolazione molto grande $\Rightarrow$ reimmissione e non reimmissione si confondono).

Proprietà — Approssimazione binomiale

Se $N\to\infty$ con $K/N\to p$ fissato, l’ipergeometrica $\text{Hyp}(N,K,n)$ converge alla binomiale $B(n,p)$: $\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}\ \xrightarrow{\,N\to\infty,\ K/N\to p\,}\ \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$ Regola pratica: se $n/N < 0{,}1$ (campione meno del $10\%$ della popolazione), l’approssimazione binomiale è molto buona.

Collegamenti

Argomenti: Distribuzioni probabilita
Concetti: Distribuzione binomiale · Distribuzione ipergeometrica · Varianza
Competenze: Analisi casi limite · Calcolo probabilita