Distribuzione ipergeometrica

Mentre la binomiale modella $n$ prove indipendenti (estrazioni con reimmissione), l’ipergeometrica modella $n$ estrazioni senza reimmissione da un’urna finita. La differenza chiave: senza reimmissione le probabilità non sono indipendenti — ogni estrazione modifica la composizione dell’urna.

Proprietà — $X\sim\text{Hyp}(N,K,n)$

Un’urna contiene $N$ oggetti, di cui $K$ “di successo” e $N-K$ “di insuccesso”. Si estraggono $n$ oggetti senza reimmissione. Se $X$ è il numero di successi estratti, allora $P(X=k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \qquad \max(0,\,n-(N-K))\le k\le \min(n,K).$ Media e varianza: $\mu = E[X] = n\cdot\frac{K}{N}, \qquad \sigma^2 = n\cdot\frac{K}{N}\cdot\frac{N-K}{N}\cdot\frac{N-n}{N-1}.$

Osservazione — Lettura della formula

• $\binom{K}{k}$: modi di scegliere i $k$ successi tra i $K$ disponibili.
• $\binom{N-K}{n-k}$: modi di scegliere i $n-k$ insuccessi tra i $N-K$ disponibili.
• $\binom{N}{n}$: modi totali di scegliere $n$ oggetti tra $N$ (denominatore = casi possibili).

È un calcolo combinatorio puro: rapporto tra casi favorevoli e casi possibili (probabilità classica).

Collegamenti

Argomenti: Distribuzioni probabilita
Concetti: Distribuzione ipergeometrica · Valore atteso · Varianza
Metodi: Distribuzione ipergeometrica
Competenze: Calcolo combinatorio · Calcolo probabilita