Distribuzione binomiale

Il primo modello discreto descrive il numero di successi in una sequenza di prove ripetute e indipendenti, ciascuna con la stessa probabilità di successo (prove di Bernoulli).

Proprietà — $X\sim B(n,p)$

$X$ = “numero di successi in $n$ prove indipendenti, ciascuna con probabilità di successo $p$”. $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, \qquad k=0,1,\ldots,n.$ Media $\mu = np$, varianza $\sigma^2 = np(1-p)$.

Esempio — Dieci lanci di moneta

Lancio una moneta equilibrata $10$ volte. $X$ = numero di teste. $X\sim B(10, 0{,}5)$.

$P(X=3) = \binom{10}{3}(0{,}5)^3(0{,}5)^7 = 120\cdot\frac{1}{1024} \approx 0{,}117.$

$\mu = 10\cdot 0{,}5 = 5$. $\quad \sigma = \sqrt{10\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5} = \sqrt{2{,}5}\approx 1{,}58.$

Il grafico della distribuzione $B(10;0{,}5)$ è simmetrico attorno alla media $\mu=5$, con le probabilità che decrescono rapidamente verso i valori estremi.

Distribuzione binomiale $B(10;0{,}5)$: le barre sono simmetriche rispetto alla media $\mu=5$.

Collegamenti

Argomenti: Distribuzioni probabilita
Concetti: Distribuzione binomiale · Valore atteso · Varianza
Metodi: Binomiale · Valore atteso
Competenze: Calcolo probabilita · Usare formule
Persone: Jacob Bernoulli