Dimostrazione del teorema di Rolle

La dimostrazione del teorema di Rolle poggia sul teorema di Weierstrass, che garantisce l’esistenza di massimo e minimo assoluti per una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato.

Dimostrazione

Per Weierstrass, $f$ continua su $[a,b]$ ammette massimo $M$ e minimo $m$. Se $M=m$, $f$ è costante e $f'(c)=0$ per ogni $c$. Altrimenti, almeno uno tra $M$ e $m$ è raggiunto in un punto interno $c\in(a,b)$: infatti, poiché $f(a)=f(b)$, se il massimo fosse raggiunto solo agli estremi si avrebbe $M=f(a)=f(b)=m$, contraddizione. In $c$ la derivata si annulla, perché l’annullarsi della derivata è condizione necessaria per un estremo interno. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Teorema di rolle · Teorema di weierstrass
Competenze: Dimostrare
Persone: Michel Rolle · Karl Weierstrass