Il principio di Cavalieri

Prima di calcolare i volumi tramite l’integrale, vediamo un principio intuitivo che li caratterizza geometricamente, senza ancora usare il calcolo integrale: il principio di Cavalieri (Bonaventura Cavalieri, allievo di Galileo, 1635; Boyer, Storia della matematica, cap. 14). È lo stesso principio che giustifica, ad esempio, l’equiscomponibilità delle figure piane vista nella dimostrazione del teorema di Pitagora.

Teorema — Principio di Cavalieri, versione 2D

Date due figure piane $A, B$ comprese tra due rette parallele $r$ ed $s$: se ogni retta parallela ad $r$ taglia $A$ e $B$ in segmenti di ugual lunghezza, allora $A$ e $B$ hanno la stessa area.

Teorema — Principio di Cavalieri, versione 3D

Dati due solidi $S_1, S_2$ compresi tra due piani paralleli $\pi_1$ e $\pi_2$: se ogni piano parallelo a $\pi_1$ taglia $S_1$ e $S_2$ in sezioni di ugual area, allora $S_1$ e $S_2$ hanno lo stesso volume.

Cilindro retto e cilindro obliquo: a ogni quota le sezioni hanno la stessa area, quindi per Cavalieri hanno lo stesso volume.

Osservazione — Dal principio all'integrale

Cavalieri stesso, sommando “infinite sezioni infinitesime”, anticipò il calcolo integrale di un secolo. La formula $V = \int_a^b A(z)\,dz$ è la versione moderna del suo principio: il volume è l’accumulazione lungo $z$ delle aree $A(z)$ delle sezioni. Cavalieri lo enunciava senza il simbolo $\int$; noi lo dimostriamo con l’integrale nella sezione seguente.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Principio di cavalieri · Volume per sezioni
Metodi: Cavalieri principio
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Persone: Bonaventura Cavalieri · Galilei