Come trovare i flessi

Individuare i flessi è del tutto analogo a individuare i massimi e i minimi, ma con la derivata seconda al posto della prima: si cercano i punti dove $f''$ si annulla e si verifica che cambi segno.

Proprietà — Come trovare i flessi

1. Calcolare $f''(x)$.
2. Trovare i punti dove $f''(x)=0$ (o dove $f''$ non esiste).
3. Verificare che $f''$ cambi segno attorno a quel punto. Se sì: flesso. Se no: non è un flesso (è un punto dove la concavità “si ferma” ma non cambia).

Il terzo passaggio è essenziale: come per gli estremi, l’annullarsi di $f''$ è solo una condizione necessaria. Se $f''$ non cambia segno, la concavità resta la stessa e il punto non è un flesso.

Esempio

Cerchiamo i flessi di $f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2}$. La derivata prima $f'(x) = -\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{2}{x^3} = -\dfrac{2x+2}{x^3}$ si annulla in $x=-1$ (punto stazionario, da classificare studiando il segno di $f'$). La derivata seconda è $f''(x) = \frac{4}{x^3}+\frac{6}{x^4} = \frac{4x+6}{x^4}, \qquad f''=0 \iff x = -\frac{3}{2}.$ Poiché $x^4>0$, il segno di $f''$ è quello di $4x+6$: per $x < -\tfrac{3}{2}$ si ha $f''<0$ (concava), per $-\tfrac{3}{2} < x < 0$ si ha $f''>0$ (convessa). La concavità cambia, quindi $x=-\dfrac{3}{2}$ è un flesso.

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Concavita convessita · Derivata seconda · Flesso
Competenze: Studiare funzione