Condizione necessaria per un estremo

Il calcolo differenziale offre uno strumento potente per individuare i punti di massimo e di minimo di una funzione: la derivata prima. Il primo risultato lega la presenza di un estremo all’annullarsi della derivata.

Proprietà — Condizione necessaria

Se $x_0$ è un punto di massimo o minimo relativo di $f$ e $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f'(x_0)=0$.

Un punto in cui la derivata si annulla si chiama punto stazionario. La proprietà dice quindi che ogni estremo relativo “interno” e derivabile è necessariamente un punto stazionario: per cercare i massimi e i minimi possiamo limitarci a esaminare i punti dove $f'(x)=0$.

Attenzione

Il viceversa è falso: $f'(x_0)=0$ non implica che $x_0$ sia un estremo. Esempio: $f(x)=x^3$ ha $f'(0)=0$ ma $x=0$ è un flesso, non un estremo.

Trovare i punti stazionari è dunque solo il primo passo: occorre poi un criterio che distingua i massimi, i minimi e i flessi a tangente orizzontale.

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Derivata prima · Massimi minimi relativi · Punto stazionario
Metodi: Massimo minimo derivata
Competenze: Derivare