Teorema di Lagrange

Testo

Verificare il teorema di Lagrange (valor medio) per $f(x) = \sqrt{x}$ su $[0,4]$ e trovare $c$.

Soluzione

Ipotesi: $f(x)=\sqrt{x}$ è continua su $[0,4]$ e derivabile su $(0,4)$ (in $0$ la derivata è infinita, ma l’intervallo aperto la esclude). Le ipotesi di Lagrange sono soddisfatte.

Tesi: esiste $c\in(0,4)$ con $f'(c)=\dfrac{f(4)-f(0)}{4-0}=\dfrac{2-0}{4}=\dfrac12$.

Da $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac12$ segue $\sqrt{c}=1$, cioè $\boxed{c=1}\in(0,4)$.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Teorema di lagrange
Competenze: Dimostrare
Persone: Joseph-Louis Lagrange
Tipo di esercizio: Dimostrazione