Testo Polinomio di Taylor di lnx\ln xlnx in x0=1x_0 = 1x0=1 di ordine 333 (NB: x0≠0x_0\ne 0x0=0, sviluppare in potenze di (x−1)(x-1)(x−1)). Soluzione Calcolo il valore e le derivate in x0=1x_0=1x0=1: f(x)=lnx, f(1)=0;f′(x)=1x, f′(1)=1;f′′(x)=−1x2, f′′(1)=−1;f′′′(x)=2x3, f′′′(1)=2.f(x)=\ln x,\ f(1)=0; \quad f'(x)=\tfrac1x,\ f'(1)=1; \quad f''(x)=-\tfrac1{x^2},\ f''(1)=-1; \quad f'''(x)=\tfrac2{x^3},\ f'''(1)=2.f(x)=lnx, f(1)=0;f′(x)=x1, f′(1)=1;f′′(x)=−x21, f′′(1)=−1;f′′′(x)=x32, f′′′(1)=2. Sostituendo nella formula T3(x)=∑k=03f(k)(1)k!(x−1)kT_3(x)=\sum_{k=0}^3 \frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^kT3(x)=∑k=03k!f(k)(1)(x−1)k: T3(x)=0+1⋅(x−1)+−12(x−1)2+26(x−1)3=(x−1)−(x−1)22+(x−1)33.T_3(x) = 0 + 1\cdot(x-1) + \frac{-1}{2}(x-1)^2 + \frac{2}{6}(x-1)^3 = \boxed{(x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3}}.T3(x)=0+1⋅(x−1)+2−1(x−1)2+62(x−1)3=(x−1)−2(x−1)2+3(x−1)3. Collegamenti Argomenti: Derivate Concetti: Derivata successiva · Polinomio di taylor Funzioni: Funzione logaritmica Metodi: Taylor polinomio Competenze: Usare formule Tipo di esercizio: Calcolo derivata