Dall'idea del differenziale a Taylor

Il differenziale $df = f'(x_0)\,dx$ fornisce un’approssimazione lineare di $f$ vicino a $x_0$: la retta tangente. Si può fare di meglio? Sì: l’idea è approssimare $f$ con una parabola, poi con una cubica, e così via, ottenendo un’approssimazione tanto migliore quanto più si sale di grado. Il risultato è il polinomio di Taylor.

Osservazione — Taylor come "generalizzazione delle funzioni equivalenti"

Nel capitolo sui limiti abbiamo già usato sostituzioni del tipo ”$\sin x \sim x$ per $x\to 0$” o ”$1-\cos x \sim x^2/2$ per $x\to 0$”: sono le funzioni equivalenti. Lo sviluppo di Taylor è la generalizzazione di questa idea: invece di una singola equivalenza al primo o secondo ordine, scriviamo un’intera espressione polinomiale che approssima $f$ a un ordine arbitrario, con un resto controllato che misura l’errore commesso. Conoscere Taylor equivale ad avere a portata di mano tutte le funzioni equivalenti del libro, e altre infinite ancora.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Differenziale · Funzioni equivalenti · Polinomio di taylor
Persone: Brook Taylor