Catalogo di derivate composte

Quindici esempi guidati che ricoprono tutte le combinazioni di funzioni elementari che si incontrano in Quinta. Sono un catalogo di riferimento da rivedere prima delle verifiche; ogni esempio applica solo una idea oltre alle precedenti.

Esempio 1 — Polinomio dentro seno: $f(x)=\sin(x^2)$

$f'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x$.

Esempio 2 — Esponenziale dentro coseno: $f(x)=e^{\cos x}$

$f'(x)=e^{\cos x}\cdot(-\sin x) = -\sin x\,e^{\cos x}$.

Esempio 3 — Logaritmo di polinomio: $f(x)=\ln(1+x^2)$

$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\cdot 2x = \dfrac{2x}{1+x^2}$.

Esempio 4 — Arcotangente di esponenziale: $f(x)=\arctan(e^x)$

$f'(x)=\dfrac{1}{1+e^{2x}}\cdot e^x = \dfrac{e^x}{1+e^{2x}}$.

Esempio 5 — Radice di una funzione razionale: $f(x)=\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}$

Pongo $u=(1+x)/(1-x)$: $u'=\dfrac{(1)(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\dfrac{2}{(1-x)^2}$. Allora $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u' = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\cdot\frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}.$

Esempio 6 — Coseno di seno: $f(x)=\cos(\sin x)$

$f'(x)=-\sin(\sin x)\cdot\cos x$.

Esempio 7 — Esponenziale di quadratico: $f(x)=e^{-x^2}$ (la gaussiana)

$f'(x)=e^{-x^2}\cdot(-2x)=-2x\,e^{-x^2}$.

Esempio 8 — Logaritmo iterato: $f(x)=\ln(\ln x)$, $x>1$

$f'(x)=\dfrac{1}{\ln x}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x\ln x}$.

Esempio 9 — Seno di logaritmo: $f(x)=\sin(\ln x)$

$f'(x)=\cos(\ln x)\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{\cos(\ln x)}{x}$.

Esempio 10 — $f(x)=\tan^3(x)$

Pongo $u=\tan x$: $u'=1/\cos^2 x$. $f'(x)=3u^2\cdot u'=3\tan^2 x/\cos^2 x$.

Esempio 11 — $f(x)=\arctan(\sqrt{x})$

$f'(x)=\dfrac{1}{1+x}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$.

Esempio 12 — $f(x)=(\sin x)^{\cos x}$ (esponente variabile, "trucco del log")

La funzione ha sia base che esponente dipendenti da $x$: si applica $f=e^{\cos x\,\ln(\sin x)}$. $f'(x) = f(x)\cdot\Bigl[-\sin x\,\ln(\sin x) + \cos x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}\Bigr] = (\sin x)^{\cos x}\Bigl[-\sin x\,\ln(\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x}\Bigr].$ È la derivata logaritmica: ogni volta che si vede $f^g$ con entrambi variabili, si passa per $\ln f^g = g\ln f$.

Esempio 13 — $f(x)=x^x$ (caso celebre)

$\ln f = x\ln x$. Derivo entrambi i membri: $f'/f = \ln x + 1$, dunque $f'(x)=x^x(\ln x + 1)$.

Esempio 14 — Quadratica + radice: $f(x)=\sqrt{1+\sin^2 x}$

$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+\sin^2 x}}\cdot 2\sin x\cos x = \dfrac{\sin x\cos x}{\sqrt{1+\sin^2 x}} = \dfrac{\sin(2x)}{2\sqrt{1+\sin^2 x}}$.

Esempio 15 — Triplo annidamento: $f(x)=\ln\bigl(\cos(e^x)\bigr)$

Tre cerchi: $\ln\circ\cos\circ\exp$. $f'(x) = \dfrac{1}{\cos(e^x)}\cdot(-\sin(e^x))\cdot e^x = -e^x\tan(e^x)$.

In sintesi — Pattern ricorrenti

Pattern	Derivata
$\sin(\varphi)$	$\cos(\varphi)\cdot\varphi'$
$\cos(\varphi)$	$-\sin(\varphi)\cdot\varphi'$
$e^{\varphi}$	$e^{\varphi}\cdot\varphi'$
$\ln(\varphi)$ ($\varphi>0$)	$\varphi'/\varphi$
$\varphi^n$ ($n$ fissato)	$n\varphi^{n-1}\cdot\varphi'$
$\sqrt{\varphi}$ ($\varphi>0$)	$\varphi'/(2\sqrt{\varphi})$
$\arctan(\varphi)$	$\varphi'/(1+\varphi^2)$
$f^g$ (entrambi variabili)	passa per $e^{g\ln f}$ (derivata logaritmica)

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata composta · Derivata logaritmica · Regola della catena
Competenze: Derivare · Usare formule