Composizione con regola del prodotto interna

Quando dentro una composizione compare un prodotto, si combinano diagramma a cerchi e regola del prodotto: si applica il diagramma per l’anello esterno, poi si scende a derivare l’argomento con le regole ordinarie. Esempio: $D[\cos(\sin(e^x-3)\cdot x^2)]$.

Esempio — Funzione composta con regola del prodotto interna

Passo 1: la funzione esterna è $\cos\triangle$, con $\triangle = \sin(e^x-3)\cdot x^2$.

Diagramma esterno:

Diagramma esterno: l’anello di destra è $\cos\triangle$, la cui derivata è $-\sin\triangle$.

Esempio (continua)

Passo 2: serve $D[\sin(e^x-3)\cdot x^2]$ con la regola del prodotto. Poste $f = \sin(e^x-3)$, $g = x^2$: $f'\cdot g + f\cdot g' = D[\sin(e^x-3)]\cdot x^2 + \sin(e^x-3)\cdot 2x.$

Passo 3: per $D[\sin(e^x-3)]$ serve un altro diagramma a cerchi:

Diagramma interno: $D[\sin(e^x-3)] = e^x\cdot\cos(e^x-3)$.

Esempio — Risultato finale

$D[\cos(\sin(e^x-3)\cdot x^2)] = -\sin\bigl(\sin(e^x-3)\cdot x^2\bigr)\cdot\bigl[e^x\cos(e^x-3)\cdot x^2 + 2x\sin(e^x-3)\bigr].$

Attenzione — Se la composizione ha più di 3 anelli

Il metodo si estende: basta aggiungere più cerchi e più simboli geometrici ($\square, \triangle, \bigcirc, \diamondsuit, \ldots$). La derivata finale è sempre il prodotto delle derivate parziali di ciascun anello, con i simboli sostituiti alla fine. L’ordine di moltiplicazione non conta (il prodotto è commutativo), ma la sostituzione va fatta dall’interno verso l’esterno (prima $\square = x$, poi $\triangle = \text{espressione con } x$, ecc.).

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata composta · Regola della catena · Regole di derivazione
Competenze: Derivare