Rapporto incrementale e derivata

Come si calcola la pendenza della tangente? Partendo dalla pendenza della secante e passando al limite: la secante è individuata da due punti, ma facendo scivolare il secondo verso il primo il rapporto delle variazioni tende a un valore ben preciso.

Definizione — Rapporto incrementale e derivata

Il rapporto incrementale di $f$ in $x_0$ con incremento $\Delta x$ è: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$ La derivata è il limite di questo rapporto per $\Delta x\to 0$: $f'(x_0) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$

$\Delta x$ è lo spostamento orizzontale fra i due punti, $\Delta f$ quello verticale: il rapporto $\Delta f/\Delta x$ è la pendenza della secante. Al limite $\Delta x\to 0$ la secante diventa tangente e il rapporto diventa la derivata.

Esplora la costruzione nella simulazione: trascina il cursore $h$ verso $0$ e osserva la secante trasformarsi nella tangente.

Trascina $x_0$ e porta $h$ verso $0$: la secante (rossa) si avvicina alla tangente (tratteggiata) e il rapporto incrementale $\Delta y/\Delta x$ tende a $f'(x_0)$.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Limite · Rapporto incrementale
Competenze: Calcolare limiti · Interpretare grafico