Funzione senza massimo su [0,1]

Testo

Dare un esempio di funzione discontinua su $[0,1]$ che non ha massimo assoluto.

Soluzione

L’esempio serve a mostrare che, se cade l’ipotesi di continuità, la tesi del teorema di Weierstrass può venire meno. Consideriamo $f(x) = \begin{cases} x & 0\le x<1 \\ 0 & x=1 \end{cases}$ definita su tutto $[0,1]$ (intervallo chiuso e limitato).

• Per $x\in[0,1)$ i valori $f(x)=x$ si avvicinano a $1$ quanto si vuole ($\sup f = 1$), ma non lo raggiungono mai.
• Nel punto $x=1$, dove il valore $1$ potrebbe essere assunto, la funzione vale $0$.

Perciò l’estremo superiore $1$ non è un massimo: non esiste alcun $x\in[0,1]$ con $f(x)=1$. La funzione è discontinua in $x=1$ (salto), ed è proprio questa discontinuità a impedire l’esistenza del massimo, coerentemente col fatto che il teorema di Weierstrass richiede la continuità.

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Discontinuita · Massimi minimi assoluti · Teorema di weierstrass
Competenze: Analisi casi limite · Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione