Newton su x³−3x+1

Testo

Applicare il metodo di Newton a $f(x)=x^3-3x+1=0$ con $x_0=0{,}5$: fare quattro iterazioni e confrontare con la bisezione.

Soluzione

Si ha $f(x)=x^3-3x+1$ e $f'(x)=3x^2-3$, quindi $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3-3x_n+1}{3x_n^2-3}.$ Partendo da $x_0=0{,}5$:

$n$	$x_n$
$0$	$0{,}5$
$1$	$0{,}333333$
$2$	$0{,}347222$
$3$	$0{,}347296$
$4$	$0{,}347296$

Newton stabilizza già alla terza iterazione sul valore $\boxed{x\approx 0{,}347296}$. La bisezione su $[0,1]$, che dimezza l’errore a ogni passo, per raggiungere la stessa precisione (sei cifre decimali) richiede circa $20$ iterazioni: Newton è drasticamente più veloce perché la sua convergenza è quadratica.

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Algoritmo di bisezione · Metodo di newton raphson
Metodi: Newton raphson
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni