Il metodo di Newton-Raphson

L’algoritmo di bisezione è robusto ma lento: dimezza l’errore a ogni passo, quindi guadagna circa una cifra decimale ogni $3{,}3$ iterazioni. Se conosciamo la derivata di $f$ possiamo costruire un algoritmo molto più rapido: il metodo di Newton-Raphson.

Proprietà — Iterazione di Newton

Sia $f$ derivabile con derivata $f'$, e sia $x_0$ una stima iniziale di uno zero. La successione $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ converge (sotto ipotesi ragionevoli) a uno zero di $f$. Geometricamente: si traccia la tangente al grafico di $f$ nel punto $(x_n,f(x_n))$ e si prende come $x_{n+1}$ l’intersezione della tangente con l’asse $x$.

Metodo di Newton per $f(x)=x^2-2$: dalla stima $x_0$ la tangente incontra l’asse $x$ in $x_1$, più vicino alla radice $\sqrt{2}$; ripetendo, ci si avvicina rapidamente.

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Argomenti: Continuita
Concetti: Algoritmo di bisezione · Derivata · Metodo di newton raphson · Retta · Retta tangente
Metodi: Newton raphson
Competenze: Interpretare grafico · Usare formule