Teorema di Weierstrass

La continuità su un intervallo chiuso e limitato ha una conseguenza forte: la funzione raggiunge sicuramente il suo valore più grande e il suo valore più piccolo.

Teorema — Teorema di Weierstrass

Se $f$ è continua su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, allora $f$ ammette massimo assoluto e minimo assoluto in $[a,b]$: esistono $x_M, x_m\in[a,b]$ con $f(x_m)\le f(x)\le f(x_M) \qquad \text{per ogni } x\in[a,b].$

Osservazione — Le ipotesi sono tutte necessarie

$f$ deve essere continua (altrimenti può fare “salti” senza raggiungere il massimo) e l’intervallo deve essere chiuso e limitato (altrimenti $f$ può divergere verso l’estremo non raggiunto). Se anche una sola ipotesi cade, la tesi può venire meno.

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Continuita · Massimi minimi assoluti · Teorema di weierstrass
Persone: Karl Weierstrass