Limite che dà una potenza di e

Testo

Calcolare $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x$.

Soluzione

Forma $1^\infty$. Riconduciamoci al limite notevole $\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\to e$ con la sostituzione $t = \dfrac{x}{2}$ (quindi $\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{t}$ e $x = 2t$, con $t\to+\infty$): $\left(1+\frac{2}{x}\right)^x = \left(1+\frac{1}{t}\right)^{2t} = \left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^{2} \to e^2.$ Quindi il limite è $\boxed{e^2}$.

In alternativa, con il trucco $A^B=e^{B\ln A}$: l’esponente è $x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right)\sim x\cdot\frac{2}{x}=2$, da cui $e^2$.

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Forme indeterminate · Limiti notevoli
Competenze: Calcolare limiti
Tipo di esercizio: Calcolo limite