Differenza di radici

Testo

Calcolare $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-x}\bigr)$.

Soluzione

Forma $\infty-\infty$: razionalizziamo moltiplicando e dividendo per il coniugato $\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-x}$: $= \lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2+3x)-(x^2-x)}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-x}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{4x}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-x}}.$ Raccogliamo $x$ (per $x\to+\infty$, $x>0$ e $\sqrt{x^2}=x$): $= \lim_{x\to+\infty}\frac{4x}{x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)} = \frac{4}{1+1} = \boxed{2}.$

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Forme indeterminate
Competenze: Calcolare limiti
Tipo di esercizio: Calcolo limite