0 di accumulazione per sin(1/n)

Testo

Mostrare che $0$ è di accumulazione per $D = \{\sin(1/n) : n\ge 1\}$ e dire se $0$ appartiene a $D$.

Soluzione

$0$ è di accumulazione. Al crescere di $n$ si ha $1/n\to 0$, e quindi $\sin(1/n)\to \sin 0 = 0$. Fissato un qualunque $\delta>0$, esiste $n$ abbastanza grande perché $0<\sin(1/n)<\delta$; anzi ne esistono infiniti, tutti distinti e non nulli. Dunque in ogni intorno bucato di $0$ cadono infiniti punti di $D$: $0$ è di accumulazione.

$0\notin D$. Perché $0$ appartenga a $D$ dovrebbe essere $\sin(1/n)=0$ per qualche $n\ge 1$, cioè $1/n = k\pi$ per qualche intero $k$. Ma $1/n\in(0,1]$ non è mai un multiplo di $\pi$: quindi $\sin(1/n)\ne 0$ per ogni $n\ge 1$, e $0\notin D$.

È l’esempio tipico di punto di accumulazione che non appartiene all’insieme.

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Punto di accumulazione
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione