Asintoti di una funzione razionale

Testo

Trovare gli asintoti di $f(x) = \dfrac{x^2+1}{x-1}$.

Soluzione

Dominio: $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

Asintoto verticale. In $x=1$ il denominatore si annulla e il numeratore vale $2\ne 0$: $\lim_{x\to 1^\pm}\frac{x^2+1}{x-1} = \pm\infty \ \Rightarrow\ \text{asintoto verticale } \boxed{x=1}.$

Asintoto orizzontale. Non c’è, perché $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$ (grado del numeratore maggiore di quello del denominatore).

Asintoto obliquo $y=mx+q$. Con la divisione polinomiale $x^2+1 = (x-1)(x+1) + 2$, quindi $f(x) = x+1+\frac{2}{x-1}.$ Da qui $m=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1$ e $q=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-x\bigr)=1$. L’asintoto obliquo è $\boxed{y=x+1}$.

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Asintoto · Asintoto obliquo · Asintoto verticale
Competenze: Calcolare limiti · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione