Il trucco delle potenze A elevato a B

Quando un limite ha la forma $\bigl[A(x)\bigr]^{B(x)}$ con una forma indeterminata come $1^\infty$, $\infty^0$ o $0^0$, il trucco è riscrivere la potenza come esponenziale:

$A(x)^{B(x)} = e^{\,B(x)\cdot\ln A(x)}.$

Il limite dell’esponente $B(x)\cdot\ln A(x)$ è di solito una forma indeterminata “ordinaria” ($0\cdot\infty$ o simili) che si risolve con i metodi visti. Poi si applica la continuità dell’esponenziale.

Esempio — Il limite che dà $e$

$\lim_{x\to 0^+}(1+x)^{1/x} = \lim e^{\frac{1}{x}\cdot\ln(1+x)}.$ Usiamo $\ln(1+\square)\sim\square$ con $\square = x\to 0$: $\frac{1}{x}\cdot\ln(1+x) \sim \frac{1}{x}\cdot x = 1.$ Quindi il limite è $e^1 = \boxed{e}$.

Esempio — Base che tende a 1, esponente all'infinito

$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^x = e^{\,x\cdot\ln\frac{x+1}{x-1}} = e^{\,x\cdot\ln\left(1+\frac{2}{x-1}\right)}.$ Con $\square = \dfrac{2}{x-1}\to 0$ si ha $\ln(1+\square)\sim\square$, quindi $x\cdot\frac{2}{x-1}\to 2.$ Il limite è $\boxed{e^2}$.

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Forme indeterminate · Funzioni equivalenti
Competenze: Calcolare limiti · Usare formule