La scala degli infiniti

Proprietà — Gerarchia degli infiniti

Per $x\to+\infty$ le funzioni elementari crescono con velocità diverse. L’ordine è $\log x \ll x^\alpha \ll a^x \ll x! \ll x^x,\qquad (\alpha>0,\ a>1).$ Il simbolo $f\ll g$ significa $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$: la funzione “più lenta” è trascurabile rispetto alla “più veloce”.

In pratica: il logaritmo cresce più lentamente di ogni potenza; ogni potenza cresce più lentamente di ogni esponenziale (con base $>1$); l’esponenziale è battuto dal fattoriale, e questo da $x^x$. In una forma $\infty/\infty$ “vince” sempre il termine più in alto nella scala.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Gerarchia degli infiniti · Infinito
Metodi: Limiti confronto
Competenze: Calcolare limiti