Definizione intuitiva di limite

Definizione — Limite intuitivo

Diciamo che $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$ se, al tendere di $x$ verso $x_0$ (senza raggiungerlo), i valori $f(x)$ si avvicinano arbitrariamente a $L$.

Osservazione

Il limite descrive il comportamento tendenziale di una funzione vicino a un punto (o all’infinito), non il valore della funzione in quel punto. È possibile che $f(x_0)$ non esista, oppure che esista ma sia diverso da $L$: il limite “guarda” solo cosa succede attorno a $x_0$, non in $x_0$.

Questa distinzione è il cuore del concetto: proprio perché il limite ignora il valore in $x_0$ (e usa l’intorno bucato), può descrivere il comportamento di funzioni che in $x_0$ non sono nemmeno definite.

Esplora la definizione con la simulazione: la funzione $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ non è definita in $x=2$, eppure il limite per $x \to 2$ esiste e vale $4$.

Trascina il cursore $x$ verso $2$: i valori $f(x)$ si avvicinano a $L=4$ anche se $f(2)$ non esiste.

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Limite