Quando ha senso il limite

Attenzione — Quando ha senso il limite

Il limite $\lim_{x\to x_0}f(x)$ si definisce solo per punti $x_0$ che siano di accumulazione per il dominio di $f$. La ragione è semplice: per “vedere $f$ avvicinarsi a un valore $L$” servono infiniti valori di $x$ vicini a $x_0$ (e diversi da $x_0$); se $x_0$ è isolato, non ce ne sono.

Un esempio chiarisce la differenza tra i due casi. La funzione $f(x) = \sqrt{x-2}$ ha dominio $D = [2,+\infty)$.

• Ha senso calcolare $\lim_{x\to 2}f(x)$, perché $2$ è di accumulazione per $D$, anche se a sinistra di $2$ non si può “arrivare”: il limite esiste solo da destra.
• Non ha senso parlare di $\lim_{x\to 0}f(x)$, perché $0$ non è di accumulazione per $D$: esiste un intorno di $0$, ad esempio $(-1,1)$, che non contiene alcun punto di $D$.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Dominio · Limite · Limite destro sinistro · Punto di accumulazione