Esercizio svolto — Limite di (1 - 1/n)^n

Testo

Mostrare che $a_n = \left(1 - \dfrac{1}{n}\right)^n \to \dfrac{1}{e}$.

Soluzione

Riscriviamo l’esponente separando il fattore che ricorda la definizione di $e$. Posto $m = n-1$: $\left(1 - \frac1n\right)^n = \left(\frac{n-1}{n}\right)^n = \left(\frac{n}{n-1}\right)^{-n} = \left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{-n}.$ Ora $\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{-n} = \underbrace{\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{-(n-1)}}_{\to\, e^{-1}} \cdot \underbrace{\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{-1}}_{\to\, 1}.$ Il primo fattore tende a $e^{-1}$ (è la definizione di $e$ con esponente e base entrambi $\to n-1$, cambiato di segno), il secondo tende a $1$. Dunque $\left(1 - \frac1n\right)^n \to \boxed{\frac{1}{e}}.$

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Numero di nepero
Metodi: Numero e via successione
Competenze: Calcolare limiti
Tipo di esercizio: Calcolo limite