Esercizio svolto — La successione n! / n^n

Testo

Mostrare che la successione $a_n = \dfrac{n!}{n^n}$ è decrescente e calcolarne il limite.

Soluzione

Studiamo il rapporto tra due termini consecutivi: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!} = \frac{(n+1)\,n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{\left(1+\frac1n\right)^n}.$ Poiché $\left(1+\frac1n\right)^n \to e > 1$, il rapporto tende a $\dfrac{1}{e} < 1$; in particolare $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ per ogni $n$, quindi la successione è decrescente (ed è positiva, dunque limitata inferiormente da $0$).

Essendo decrescente e limitata inferiormente, converge; e poiché il rapporto tra termini consecutivi tende a $1/e < 1$, i termini decrescono geometricamente verso $0$: $\lim_{n\to+\infty}\frac{n!}{n^n} = \boxed{0}.$

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Monotonia · Numero di nepero
Competenze: Calcolare limiti · Dimostrare
Tipo di esercizio: Calcolo limite · Dimostrazione