Lettura linguistica dei quantificatori

La definizione di limite è un esercizio di logica: tre quantificatori in un ordine preciso, che non si può cambiare.

Osservazione — Lettura linguistica: $\forall\varepsilon\,\exists n_0\,\forall n\ge n_0$

La definizione di limite ha tre quantificatori nidificati nell’ordine "$\forall\varepsilon\,\exists n_0\,\forall n\ge n_0$". L’ordine non si può scambiare: "$\exists n_0\,\forall\varepsilon$" sarebbe falso (nessun singolo $n_0$ basta per tutti gli $\varepsilon$). Il valore $n_0$ dipende da $\varepsilon$: più piccolo è $\varepsilon$, più grande sarà (in generale) $n_0$.

La negazione di "$a_n\to L$" è quindi ”$\exists\varepsilon>0\,\forall n_0\,\exists n\ge n_0$ tale che $|a_n-L|\ge\varepsilon$”: esiste un livello $\varepsilon$ che la successione continua a oltrepassare per indici arbitrariamente grandi (Esty).

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Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Quantificatori