Tronco di piramide a base quadrata

Testo

Un tronco di piramide ha basi quadrate di lati $4$ e $2$ e altezza del tronco $6$. Calcolane il volume.

Soluzione

Metodo per differenza. Rapporto di similitudine $k = 2/4 = 1/2$. Le altezze della piramide completa e di quella piccola stanno nel rapporto $h/h' = 1/k = 2$, con $h = h'+6$: da cui $h' = 6$, $h = 12$. $V_{\text{grande}} = \tfrac{1}{3}\cdot 16\cdot 12 = 64, \qquad V_{\text{piccola}} = \tfrac{1}{3}\cdot 4\cdot 6 = 8.$ $V_{\text{tronco}} = 64 - 8 = \boxed{56}.$

Verifica con la formula del tronco $V=\tfrac{h}{3}\bigl(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}\bigr)$, con $A_1=16$, $A_2=4$: $V = \tfrac{6}{3}\bigl(16+4+\sqrt{64}\bigr) = 2\cdot 28 = 56. \quad ✓$

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Similitudine solidi · Tronco di piramide · Volume
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico