Teorema fondamentale dell'algebra

L’introduzione dei numeri complessi risolve in modo definitivo il problema della risolubilità delle equazioni polinomiali.

Teorema — Teorema fondamentale dell'algebra

Ogni polinomio non costante a coefficienti complessi di grado $n$ ammette esattamente $n$ radici in $\mathbb{C}$, contate con molteplicità.

Conseguenza. Mentre nei reali l’equazione $x^2+1=0$ non ha soluzioni, e in generale un’equazione di secondo grado con $\Delta<0$ è impossibile, nei complessi ogni equazione polinomiale di secondo grado ha due soluzioni (eventualmente coincidenti). La formula risolutiva $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ continua a valere, con la radice quadrata di un numero negativo intesa in $\mathbb{C}$: $\sqrt{-d}=i\sqrt{d}$.

Esempio — Un'equazione di secondo grado in $\mathbb{C}$

Risolvere $x^2+2x+5=0$ in $\mathbb{C}$. $\Delta = 4 - 20 = -16, \qquad \sqrt{\Delta} = 4i, \qquad x = \frac{-2\pm 4i}{2} = -1\pm 2i.$

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Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Numero complesso · Teorema fondamentale algebra
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