Radici n-esime di un numero complesso

A differenza dei reali, dove la radice $n$-esima può non esistere o essere unica, nei complessi ogni numero non nullo ha sempre esattamente $n$ radici $n$-esime distinte.

Proprietà — Radici $n$-esime di un numero complesso

Dato $z=\rho\,e^{i\theta}$ con $\rho>0$, le radici $n$-esime di $z$ sono esattamente $n$, date da: $w_k = \sqrt[n]{\rho}\,\exp\!\left(i\,\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \qquad k = 0, 1, \ldots, n-1.$ Queste $n$ radici sono i vertici di un poligono regolare di $n$ lati inscritto nella circonferenza di centro l’origine e raggio $\sqrt[n]{\rho}$.

Tutte le radici hanno lo stesso modulo $\sqrt[n]{\rho}$ e argomenti che differiscono di $2\pi/n$: per questo si dispongono agli angoli di un poligono regolare.

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Forma esponenziale · Radici n esime
Metodi: Numeri complessi polare
Competenze: Usare formule