Prodotto e potenza in forma esponenziale

In forma esponenziale prodotto, quoziente e potenza si riducono a operazioni sui moduli e sugli argomenti.

Proprietà — Prodotto e potenza in forma esponenziale

Siano $z_1=\rho_1 e^{i\theta_1}$ e $z_2=\rho_2 e^{i\theta_2}$. Allora: $z_1 \cdot z_2 = \rho_1\rho_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}, \qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}\,e^{i(\theta_1 - \theta_2)}.$ E per l’elevamento a potenza (formula di De Moivre): $z^n = \rho^n\,e^{in\theta} = \rho^n\bigl(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\bigr).$

Interpretazione geometrica. Moltiplicare per un numero complesso corrisponde a ruotare (di $\theta$) e ridimensionare (di $\rho$). Se $|z_2|=1$, la moltiplicazione è una pura rotazione. È proprio questa l’interpretazione alla base della rappresentazione delle trasformazioni del piano con i numeri complessi.

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: De moivre · Forma esponenziale
Metodi: De moivre · Numeri complessi polare
Competenze: Calcolare · Usare formule
Persone: Abraham de Moivre