Tre palline verdi senza reimmissione

Testo

Un’urna contiene $3$ palline rosse e $5$ palline verdi. Si estraggono tre palline senza reimmissione. Sapendo che l’ultima è verde, qual è la probabilità che siano tutte e tre verdi? Suggerimento: costruire l’albero completo a tre livelli e applicare la formula della probabilità condizionata.

Soluzione

Chiamiamo $V$ l’evento «la terza estratta è verde» e $VVV$ l’evento «tutte e tre verdi». Cerchiamo $P(VVV\mid V)=\dfrac{P(VVV)}{P(V)}$.

Denominatore $P(V)$: sommando lungo l’albero tutti i percorsi che terminano con verde, $P(V) = \frac{5}{8}\frac{4}{7}\frac{3}{6} + \frac{5}{8}\frac{3}{7}\frac{4}{6} + \frac{3}{8}\frac{5}{7}\frac{4}{6} + \frac{3}{8}\frac{2}{7}\frac{5}{6} = \frac{5}{8}.$ (Come atteso: per simmetria la terza pallina è verde con la stessa probabilità $5/8$ della prima.)

Numeratore $P(VVV)$: un solo percorso, $P(VVV) = \frac{5}{8}\frac{4}{7}\frac{3}{6} = \frac{5}{28}.$ Dunque $P(VVV\mid V) = \frac{5/28}{5/8} = \frac{8}{28} = \boxed{\dfrac{2}{7}}$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Diagramma albero · Probabilita condizionata
Metodi: Prob condizionata
Competenze: Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita