Formula della distribuzione binomiale

Teorema — Formula della distribuzione binomiale

Nelle ipotesi dello schema di Bernoulli, la probabilità di $k$ successi su $n$ prove è: $P_n(k) = \binom{n}{k}\, p^k\, (1-p)^{n-k}, \qquad k=0,1,\ldots,n.$

Dimostrazione

Una specifica sequenza di $n$ prove con $k$ successi e $n-k$ insuccessi (per esempio $SSI\ldots SIS$) ha probabilità $p^k(1-p)^{n-k}$: gli esiti sono indipendenti, quindi le probabilità si moltiplicano. Le sequenze diverse che hanno esattamente $k$ successi e $n-k$ insuccessi sono $\binom{n}{k}$: scegliere le $k$ posizioni in cui sta il successo equivale a scegliere un sottoinsieme di $k$ elementi tra $n$. Poiché questi esiti sono incompatibili, le loro probabilità si sommano; essendo tutte uguali, il totale è $\binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}$. ∎

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Combinazioni semplici · Distribuzione binomiale · Schema di bernoulli
Metodi: Binomiale
Competenze: Calcolo probabilita · Dimostrare · Usare formule