Proprietà del coefficiente binomiale

Il coefficiente binomiale $\dbinom{n}{k}$ soddisfa tre identità fondamentali, tutte visibili nel triangolo di Tartaglia.

Proprietà — Identità del coefficiente binomiale

\binom{n}{k} &= \binom{n}{n-k} && \text{(simmetria)} \\[4pt] \binom{n}{k} &= \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} && \text{(formula di Tartaglia/Stifel)} \\[4pt] \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} &= 2^n && \text{(somma della riga di Tartaglia)} \end{aligned}$$

La simmetria dice che scegliere $k$ oggetti da tenere equivale a scegliere gli $n-k$ da scartare. La formula di Tartaglia/Stifel è la regola con cui si costruisce il triangolo: ogni numero è la somma dei due che gli stanno sopra. La terza identità afferma che la somma di un’intera riga vale $2^n$, cioè il numero totale di sottoinsiemi di un insieme di $n$ elementi.

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Coefficiente binomiale · Triangolo di tartaglia
Metodi: Triangolo tartaglia
Competenze: Calcolo combinatorio · Usare formule
Persone: Stifel · Niccolò Tartaglia