Le quattro formule dei foglietti

Vogliamo estrarre $k$ oggetti da un’urna di $n$. A seconda del tipo di “foglietti” e della possibilità di ripetizione, si ottengono quattro formule fondamentali.

Proprietà — Le quattro formule dei foglietti

	al massimo una volta	più di una volta (con ripetizione)
foglietti numerati	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$	$n^k$
foglietti bianchi	$\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$	$\dbinom{n+k-1}{k}$

Le formule prendono nomi tradizionali:

• $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ = disposizioni semplici di $n$ oggetti in $k$ posti;
• $n^k$ = disposizioni con ripetizione;
• $\dbinom{n}{k}$ = combinazioni semplici (il famoso “coefficiente binomiale”);
• $\dbinom{n+k-1}{k}$ = combinazioni con ripetizione (la “formula del gelato”: quante coppe si possono fare con $k$ palline scelte tra $n$ gusti, potendo ripetere i gusti).

Il caso particolare delle permutazioni si ottiene con $k=n$ nelle disposizioni semplici: $\dfrac{n!}{(n-n)!} = \dfrac{n!}{0!} = n!$.

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Coefficiente binomiale · Combinazioni · Disposizioni · Permutazioni
Metodi: Combinazioni ripetizione · Combinazioni semplici · Disposizioni ripetizione · Disposizioni semplici · Tabella foglietti
Competenze: Calcolo combinatorio · Usare formule