Dimostrazione del teorema del coseno

Una delle dimostrazioni più eleganti del teorema del coseno usa i vettori e il prodotto scalare.

Dimostrazione — Via prodotto scalare

Interpretiamo i lati come vettori: $\vec{AB} = \vec{c}$, $\vec{AC} = \vec{b}$, $\vec{BC} = \vec{a}$. Vale la relazione di Chasles: $\vec{a} = \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{c}.$ Calcoliamo il modulo al quadrato usando il prodotto scalare: $|\vec{a}|^2 = \vec{a}\cdot\vec{a} = (\vec{b}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c}) = |\vec{b}|^2 - 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2.$ Ma $\vec{b}\cdot\vec{c} = |\vec{b}|\,|\vec{c}|\cos\widehat{A}$, perché l’angolo tra $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$ è proprio $\widehat{A}$. Sostituendo e usando $|\vec{a}|=a$, $|\vec{b}|=b$, $|\vec{c}|=c$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}. \qquad \blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Prodotto scalare · Teorema del coseno
Funzioni: Coseno
Competenze: Dimostrare