Matematica — Liceo

Metodo dell'angolo aggiunto

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Il secondo metodo per le equazioni lineari somma asin⁡x+bcos⁡xa\sin x + b\cos x in un’unica funzione seno, con ampiezza e fase opportune, riducendo l’equazione a una elementare. È spesso preferibile al metodo parametrico perché non richiede di verificare separatamente il caso x=πx=\pi.

In sintesi — Procedimento angolo aggiunto

  1. Scrivere asin⁡x+bcos⁡x=−ca\sin x + b\cos x = -c.
  2. Dividere entrambi i membri per a2+b2\sqrt{a^2+b^2}: aa2+b2sin⁡x+ba2+b2cos⁡x=−ca2+b2.\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x = -\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}.
  3. Trovare un angolo φ\varphi tale che cos⁡φ=aa2+b2\cos\varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} e sin⁡φ=ba2+b2\sin\varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}. Tale φ\varphi esiste sempre, perché i due valori sono coseno e seno di uno stesso angolo (la somma dei loro quadrati vale 11).
  4. L’equazione diventa cos⁡φsin⁡x+sin⁡φcos⁡x=−ca2+b2\cos\varphi\sin x + \sin\varphi\cos x = -\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}, cioè sin⁡(x+φ)=−ca2+b2\sin(x+\varphi) = -\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}: un’equazione elementare.

Esempio — Lo stesso esempio di prima, con l'angolo aggiunto

3sin⁡x+cos⁡x+1=0\sqrt{3}\sin x + \cos x + 1 = 0.

Qui a2+b2=3+1=2\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3+1} = 2. Dividendo: 32sin⁡x+12cos⁡x=−12.\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = -\frac{1}{2}. Cerchiamo φ\varphi con cos⁡φ=3/2\cos\varphi = \sqrt{3}/2 e sin⁡φ=1/2\sin\varphi = 1/2: è φ=π/6\varphi = \pi/6 (primo quadrante, coseno e seno positivi). Quindi: sin⁡(x+π6)=−12.\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}. Le soluzioni: x+π6=−π6+2kπx+\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi oppure x+π6=π+π6+2kπx+\dfrac{\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi. Ovvero: x=−π3+2kπ ∨ x=π+2kπ.x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \ \vee\ x = \pi + 2k\pi. Stesso risultato del metodo parametrico, ma senza dover verificare separatamente il caso “perduto” x=πx=\pi, che qui compare naturalmente. Proprio per questo il metodo dell’angolo aggiunto è spesso preferibile.

Interpretazione vettoriale: dividere per a2+b2\sqrt{a^2+b^2} porta il vettore (a,b)(a,b) sul cerchio unitario, ottenendo il coseno e il seno dell’angolo aggiunto φ\varphi.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Angolo aggiunto · Equazione elementare · Equazione lineare goniometrica
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Goniometriche equazioni
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule

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