Identità sui tre angoli di un triangolo

Testo

Dimostrare che $\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4\cos\tfrac{\alpha}{2}\cos\tfrac{\beta}{2}\cos\tfrac{\gamma}{2}$ quando $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ (per esempio se $\alpha,\beta,\gamma$ sono gli angoli di un triangolo). Suggerimento: applica la prostaferesi due volte.

Soluzione

Raggruppiamo i primi due termini con la prostaferesi $\sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\!\tfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\!\tfrac{\alpha-\beta}{2}$. Poiché $\alpha+\beta = \pi-\gamma$, si ha $\tfrac{\alpha+\beta}{2} = \tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\gamma}{2}$, quindi $\sin\!\tfrac{\alpha+\beta}{2} = \cos\tfrac{\gamma}{2}$: $\sin\alpha+\sin\beta = 2\cos\tfrac{\gamma}{2}\cos\tfrac{\alpha-\beta}{2}.$ Per il terzo termine usiamo la duplicazione $\sin\gamma = 2\sin\tfrac{\gamma}{2}\cos\tfrac{\gamma}{2}$; inoltre $\tfrac{\gamma}{2} = \tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\alpha+\beta}{2}$, dunque $\sin\tfrac{\gamma}{2} = \cos\tfrac{\alpha+\beta}{2}$: $\sin\gamma = 2\cos\tfrac{\gamma}{2}\cos\tfrac{\alpha+\beta}{2}.$ Sommando e raccogliendo $2\cos\tfrac{\gamma}{2}$: $\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma = 2\cos\tfrac{\gamma}{2}\left[\cos\tfrac{\alpha-\beta}{2}+\cos\tfrac{\alpha+\beta}{2}\right].$ La parentesi è ancora una somma di coseni: con la prostaferesi $\cos p+\cos q = 2\cos\tfrac{p+q}{2}\cos\tfrac{p-q}{2}$, presi $p=\tfrac{\alpha-\beta}{2}$ e $q=\tfrac{\alpha+\beta}{2}$, si ottiene $2\cos\tfrac{\alpha}{2}\cos\tfrac{\beta}{2}$ (il coseno è pari). Perciò $\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma = 4\cos\tfrac{\alpha}{2}\cos\tfrac{\beta}{2}\cos\tfrac{\gamma}{2}. \qquad\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Prostaferesi werner
Concetti: Formule di prostaferesi
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Formule prostaferesi
Competenze: Dimostrare · Usare formule
Tipo di esercizio: Dimostrazione