Formula dell'angolo triplo del coseno

Testo

Dimostrare che $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$ (suggerimento: $\cos(3\alpha) = \cos(2\alpha+\alpha)$).

Soluzione

Scriviamo $3\alpha = 2\alpha + \alpha$ e applichiamo la formula di addizione del coseno: $\cos(3\alpha) = \cos(2\alpha+\alpha) = \cos(2\alpha)\cos\alpha - \sin(2\alpha)\sin\alpha.$ Sostituiamo le formule di duplicazione $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$ e $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$: $= (2\cos^2\alpha - 1)\cos\alpha - (2\sin\alpha\cos\alpha)\sin\alpha = 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2\sin^2\alpha\cos\alpha.$ Usiamo infine $\sin^2\alpha = 1-\cos^2\alpha$: $= 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2(1-\cos^2\alpha)\cos\alpha = 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2\cos\alpha + 2\cos^3\alpha = \boxed{4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha}. \qquad \blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di addizione · Formule di duplicazione
Funzioni: Coseno
Metodi: Formule addizione · Formule duplicazione
Competenze: Dimostrare · Usare formule
Tipo di esercizio: Dimostrazione