Duplicazione con cos α = 1/3

Testo

Sapendo che $\cos\alpha = \dfrac{1}{3}$ con $\alpha$ nel primo quadrante, calcolare $\sin(2\alpha)$, $\cos(2\alpha)$ e $\tan(2\alpha)$.

Soluzione

Poiché $\alpha$ è nel primo quadrante, $\sin\alpha > 0$, quindi dall’identità fondamentale: $\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{1-\frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$ Applichiamo ora le formule di duplicazione: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{1}{3} = \boxed{\dfrac{4\sqrt{2}}{9}},$ $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 = \frac{2}{9} - 1 = \boxed{-\dfrac{7}{9}},$ $\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{4\sqrt{2}/9}{-7/9} = \boxed{-\dfrac{4\sqrt{2}}{7}}.$

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di duplicazione
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Formule duplicazione
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni