Esempio: linearizzare sin⁴α

Applicando due volte le formule di linearizzazione si può ridurre anche una potenza quarta a una semplice somma di coseni.

Esempio — Identità per $\sin^4\alpha$

Dimostriamo l’identità $\sin^4\alpha = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{8}\cos(4\alpha).$

Idea. Applichiamo due volte la formula $\sin^2 = \dfrac{1-\cos(2\,\cdot\,)}{2}$. Prima al quadrato: $\sin^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 = \left(\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2\alpha) + \cos^2(2\alpha)}{4}.$ Poi al termine $\cos^2(2\alpha) = \dfrac{1+\cos(4\alpha)}{2}$: $= \frac{1}{4}\left(1 - 2\cos(2\alpha) + \frac{1+\cos(4\alpha)}{2}\right) = \frac{1}{4}\cdot\frac{2 - 4\cos(2\alpha) + 1 + \cos(4\alpha)}{2} = \boxed{\dfrac{3 - 4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)}{8}}.$ che è esattamente l’identità cercata. ✓

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di duplicazione · Formule di linearizzazione
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Formule duplicazione
Competenze: Dimostrare · Usare formule